2. Beispiel

2.1. Effektiver Jährlicher Zinssatz (Effective Annual Rate, EAR)

Der erste Ansatz besteht darin, die jährliche Gesamtrendite zu ermitteln, welche halbjährliche Zinszahlungen von 4% mit sich bringen. Dies ist der so genannte effektive Jahreszinssatz oder die effektive jährliche Rendite (auf Englisch "Effective Annual Rate, EAR").

In unserem Fall leistet die Anlage eine Zinszahlung von 4% nach 6 Monaten und eine weitere Zinszahlung von 4% nach 12 Monaten. Für jeden investierten Euro ergeben sich somit folgende Zinszahlungen:

  • Zinszahlung nach 6 Monaten: 4% auf 1 EUR = 0.04 EUR
  • Zinszahlung nach 1 Jahr: 4% auf EUR 1.04 =  0.0416 EUR
  • Gesamtzinszahlung = 0.04 + 0.0416 = 0.0816 EUR.

Über einen Anlagehorizont von 1 Jahr wächst eine Anlage von 1 EUR also auf 1.0816 EUR an. Anders ausgedrückt: Der effektive jährliche Zinssatz beträgt 8.16 %. Allgemeiner ausgedrückt lässt sich der effektive Jahreszins (EAR) wie folgt berechnen:

  

\( \bf{EAR = \bigg(1+\frac{R}{m}\bigg)^m-1} \)
 

mit: R = angegebener Zins (8% in unserem Beispiel) und m = Anzahl der Zinszahlungen während einer Anlageperiode (2 Zahlungen pro Jahr in unserem Beispiel).

 

Wenn wir die Zahlen aus unserem Beispiel in diese Gleichung einsetzen, können wir die EAR von 8.16% bestätigen:

 

\( EAR = \bigg(1+\frac{R}{m}\bigg)^m-1 = \bigg(1+\frac{0.08}{2}\bigg)^2 - 1 = 0.0816 =8.16\% \) 

  

Beachten Sie, dass aufgrund der Aufzinsung der EAR von 8.16% höher ist als der angegebene Zinssatz von 8%. Der Grund dafür ist, dass die zweite Zinszahlung von 4% die mit der ersten Zahlung erhaltenen Zinsen über weitere 6 Monate aufzinst.

 

Generell gilt, dass bei einer bestimmten angegebenen jährlichen Rendite (R) die effektive jährliche Rendite (EAR) mit der Verzinsungsfrequenz (m) steigt.

 

Sobald wir wissen, wie man die EAR berechnet, können wir zu unserem Investitionsbeispiel zurückkehren und herausfinden, wie viel Geld wir am Ende von 5 Jahren haben werden, wenn wir heute 100'000 EUR investieren (C0):

 

\( \bf{FV_T = C_t \times (1+EAR_{R=0.08,m=2})^{(T-t)}} \)

\( \bf{FV_5= 100'000 \times 1.0816^5 = EUR \ 148'024} \)

 

Bei halbjährlicher Aufzinsung wächst die betreffende Investition auf ca. 148'000 EUR an.

   

Beispiel 1:

Sie können zwischen den folgenden Anlagevorschlägen wählen:

  • Jährlicher Zinssatz von 10.0%, zahlbar in jährlichen Zinszahlungen
  • Jährlicher Zinssatz von 9.8%, zahlbar in vierteljährlichen Zinszahlungen
  • Jährlicher Zinssatz von 9.6%, zahlbar in monatlichen Zinszahlungen
  • Jährlicher Zinssatz von 9.5%, zahlbar in täglichen Zinszahlungen (unter der Annahme, dass ein Kalenderjahr 360 Tage hat).

Welcher dieser Anlagevorschläge verspricht die höchste effektive jährliche Rendite (EAR)?

 

Um dies herauszufinden, können wir die EAR der 4 Vorschläge vergleichen:

 

 1: \( EAR_{R=0.1,\ m=1} = \bigg(1+\frac{0.1}{1}\bigg)^1-1=0.1=10.00\% \)

 2: \( EAR_{R=0.098,\ m=4} = \bigg(1+\frac{0.098}{4}\bigg)^4-1=0.117=10.17\% \)

 3: \( EAR_{R=0.096,\ m=12} = \bigg(1+\frac{0.096}{12}\bigg)^{12}-1=0.134=10.34\% \)

 4: \( EAR_{R=0.095,\ m=360} = \bigg(1+\frac{0.095}{360}\bigg)^{360}-1=0.0996=9.96\% \)

 

Vorschlag 3 mit monatlicher Verzinsung hat den höchsten effektiven jährlichen Zinssatz. Wir sollten uns deshalb für diesen Vorschlag entscheiden (unter der Annahme, dass alle Vorschläge das gleiche Risiko und den gleichen Anlagehorizont haben).

 

Stetige Verzinsung:

Was ist, wenn die fragliche Anlage keine diskreten periodischen Zinszahlungen leistet, wie etwa einmal pro Quartal, Monat, Tag, Stunde, Minute oder Sekunde, sondern kontinuierlich Zinsen zahlt? Anders ausgedrückt: Was passiert mit der zuvor erörterten Gleichung für EAR, wenn die Verzinsungsfrequenz m ins Unendliche steigt?

 

Es lässt sich zeigen, dass für Vermögenswerte mit kontinuierlichen Zinszahlungen der effektive Jahreszins wie folgt bestimmt wird:

  

\( \bf{EAR_{R, \ continuous}=e^R-1} \),

  

wobei e die so genannte Eulersche Zahl ist, eine mathematische Konstante mit einem Wert von ungefähr 2.71828.

 

Beispiel 2:

Nehmen wir an, Sie haben eine Anlage, die bei kontinuierlicher Verzinsung einen jährlichen angegebenen Zins von 10% zahlt. Wie hoch ist der effektive Jahreszins der Anlage (EAR)?

 

Unter Verwendung der obigen Gleichung ergibt sich ein EAR von 10.517%:

  

\( EAR_{0.1, \ continuous}=e^R-1 = 2.71828^{0.1} -1 = 0.10517 = 10.517\%\).

 

 Zusammenfassung:

Um den Zukunftswert einer heute getätigten Investition (C0) zu bestimmen, die mehr als eine Zinszahlung pro Anlageperiode leistet, können wir wie folgt vorgehen:
 

  1. Berechnen Sie zunächst den effektiven Jahreszinssatz (EAR), der sich aus dem angegebenen Jahreszinssatz (R) und der Verzinsungsfrequenz (m) ergibt.

    • bei diskreter Verzinsung ergibt sich der EAR als: \( EAR = \bigg(1+\frac{R}{m}\bigg)^m-1 \)
    • bei stetiger Verzinsung ergibt sich der EAR als: \(EAR = e^R-1 \)
       
  2. Sobald wir den EAR der Anlage kennen, können wir diesen in die Standard-Formel zur Bestimmung von Zukunftswerten (Future Value, FV) einsetzen:
     
    \( FV_T = C_t \times (1+EAR)^{(T-t)} \).
     

Wenn wir die beiden Schritte kombinieren (d. h. die entsprechende Gleichung aus Schritt 1 in Schritt 2 einsetzen), erhalten wir die folgenden Ausdrücke.

 

  • Für die diskrete Verzinsung:  \( \bf{FV_T = C_t \times \bigg(1+\frac{R}{m}\bigg)^{m(T-t)}} \)
     
  • Für die stetige Verzinsung: \( \bf{FV_T = C_t \times e^{R(T-t)}} \)

 

Beispiel 3:

Sie können 50'000 GBP zu einem jährlichen angegebenen Zinssatz von 12% mit vierteljährlicher Verzinsung oder zu einem jährlichen angegebenen Zinssatz von 11% mit kontinuierlicher Verzinsung anlegen. In beiden Fällen beträgt der Anlagehorizont 3 Jahre. Welcher der beiden Anlagevorschläge ergibt am Ende von Jahr 3 einen höheren Zukunftswert?

 

Der zukünftige Wert des ersten Investitionsvorschlags (vierteljährliche Verzinsung) beträgt 71'288 GBP:

 

\( FV_3 = C_t \times \bigg(1+\frac{R}{m}\bigg)^{m(T-t)} \) \(= 50'000 \times \bigg(1+ \frac{0.12}{4}\bigg)^{4 \times 3} \) \( = GBP \ 71'288 \)

 

Im Gegensatz dazu beträgt der zukünftige Wert des zweiten Vorschlags (kontinuierliche Verzinsung) 69'548 GBP:
  

\( FV_3 = C_t \times e^{R(T-t)} \) \( = 50'000 \times e^{0.11 \times 3} \) \( = GBP \ 69'548 \)

 

Für einen Anleger wäre es daher besser, sich für den ersten Vorschlag mit vierteljährlicher Verzinsung zu entscheiden.