Lektüre: Ewige Renten

Angenommen, Sie gewinnen in einer Lotterie, die Ihnen für immer eine Zahlung von 100'000 pro Jahr garantiert. Die erste Zahlung erfolgt genau in einem Jahr und "für immer" bedeutet, dass die Lotteriezahlungen an Ihre Erben, deren Erben usw. weitergegeben werden, so dass der jährliche Zufluss von 100'000 niemals aufhören wird. Der angemessene Diskontsatz beträgt 5%. Wie hoch ist der Present Value dieses Lotto-Jackpots?

Die erste Reaktion könnte "unendlich!" sein. Denn wenn die Geldströme ewig laufen, erhält der Gewinner im Laufe der Zeit einen unendlich hohen Geldbetrag!

Als zweite Reaktion könnte man glauben, dass es unmöglich ist, den Present Value zu bestimmen, da die Bewertungsformel für einen Cashflow-Stroms mit einer unendlichen Anzahl von Cashflows niemals endet...:
 

\( PV = \frac{100'000}{1.05}+\frac{100'000}{1.05^1}+\frac{100'000}{1.05^2}+...+\frac{100'000}{1.05^{100}}+...+\frac{100'000}{1.05^\infty} \)

Beide Reaktionen sind nicht wirklich befriedigend. Und beide erweisen sich als falsch. Um zu verstehen, warum das so ist, sollten wir uns daran erinnern, was der Present Value eigentlich bedeutet: Der Present Value gibt nämlich an, wie viel Geld wir heute zu den Kapitalkosten investieren müssen, um die Cashflows des Investitionsvorschlags genau nachzubilden. 

Das Bewertungsproblem kann also wie folgt umformuliert werden: Wie viel Geld müssen wir heute zu einer Rendite von 5% anlegen, damit wir jährliche Zinszahlungen von 100'000 erhalten?

Nun ist die Antwort ganz einfach: 2 Millionen! Wenn wir heute 2 Millionen anlegen, erhalten wir jährliche Zinszahlungen von 100'000 [= 2'000'000 × 0.05]. Legen wir diese jährlichen Erträge nicht wieder an, bleibt der Kontostand bei 2 Millionen, so dass im nächsten Jahr ebenfalls eine Zinszahlung von 100'000 anfällt, usw. Der Wert einer ewigen Rente ist also endlich.

Formal gesprochen, haben wir gerade die folgende Berechnung durchgeführt:

\( PV_0 \times R = C = 2'000'000 \times 0.05 = 100'000 \)

Wenn wir den obigen Ausdruck für PV₀ lösen, erhalten wir die Bewertungsformel für Cashflow-Ströme, die am Ende eines jeden Jahres für immer einen konstanten Cashflow ausschütten, eine sogenannte gewöhnliche ewige Rente oder nachschüssige ewige Rente (engl.: Ordinary Perpetuity): 
 

\(\bf{PV_{0,\text{Ewige Rente}} = \frac{C}{R}} \)

(siehe unten an dieser Seite für eine mathematische Herleitung dieser Gleichung)

Beispiel 1

Per Gesetz ist die jährliche Dividende der Aktien der Schweizerischen Nationalbank SNB auf 15 CHF begrenzt (sie kann nicht höher sein). Nehmen wir an, dass die SNB diese Dividende jedes Jahr für immer ausschütten wird und dass die nächste Dividende in genau einem Jahr fällig ist. Nehmen wir ferner an, dass die Anleger eine Rendite von 5% erwarten, um das mit den künftigen Dividendenzahlungen der SNB verbundene Risiko zu tragen.

Wie hoch ist folglich der theoretische Aktienkurs der SNB?

Unter den getroffenen Annahmen können wir die SNB-Aktie als eine ewige Rente bewerten. Der theoretische Aktienkurs beträgt demnach 300 CHF:

\(PV_0 = \frac{C}{R} = \frac{15}{0.05}=300 \)

Wie sich herausstellt, wurde die SNB-Aktie im November 2021 zu einem Preis von etwa 5'000 CHF gehandelt. Unsere ursprüngliche Berechnung war also nicht sehr genau. Es könnte sein, dass das Modell zwar geeignet ist, die Aktionäre aber eine viel tiefere Rendite als die eingesetzten 5% erwarten. Folglich könnten wir das Modell der ewigen Rente nutzen, um herauszufinden, welche Renditeerwartung mit der beobachteten Bewertung einhergehen könnte. 

Um dies herauszufinden, können wir den obigen Ausdruck nach dem Diskontsatz R auflösen:

\( PV_0 = \frac{C}{R} \longrightarrow R = \frac{C}{PV_0} = \frac{15}{5'000} = 0.003 = 0.3\% \)

Unter der Annahme, dass das Modell der ewigen Rente in diesem Fall vertretbar ist, impliziert die beobachtete Bewertung folglich, dass die Aktionäre der SNB eine jährliche Rendite von 0.3% erwarten.

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Anhang: Herleitung der Formel für nachschüssige ewige Renten

Für den interessierten Leser zeigen wir im Folgenden, wie man die einfache Bewertungsformel für gewöhnliche ewige Renten aus der viel komplexeren Formel ableitet, mit der wir begonnen haben: 

Die ursprüngliche Formel für den PV lautete:

\( PV_0 = \frac{C}{(1+R)}+\frac{C}{(1+R)^2}+\frac{C}{(1+R)^3}+... \)

Wenn wir \( \frac{1}{(1+R)} \) aus dem zweiten Argument auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens ausklammern, können wir die Gleichung schreiben als:

\( PV_0 = \frac{C}{(1+R)}+\frac{1}{(1+R)}\times \left(\frac{C}{(1+R)}+\frac{C}{(1+R)^2}+\frac{C}{(1+R)^3}+... \right) \)

Ein genauerer Blick auf die rechte Seite der Gleichung zeigt, dass der Ausdruck innerhalb der grossen Klammer mit der ursprünglichen Gleichung für PV₀ identisch ist. Daher können wir schreiben: 

\( PV_0 = \frac{C}{(1+R)}+\frac{1}{(1+R)}\times PV_0 \)

Jetzt müssen wir nur noch den resultierenden Ausdruck umformen:

\( PV - \frac{PV_0}{(1+R)} = \frac{C}{(1+R)} \)

\( \longrightarrow \frac{PV_0\times (1+R) - PV}{(1+R)} = \frac{C}{(1+R)} \)

\( \longrightarrow PV_0 \times R = C \)

\( \longrightarrow PV_0 = \frac{C}{R} \)