Lektüre: Ewige Renten

Die dritte Art der ewigen Rente, die wir betrachten müssen, ist die so genannte wachsende ewige Rente. Dabei handelt es sich um Cashflow-Ströme, die mit einer konstanten Wachstumsrate von einer Zahlung zur nächsten wachsen und ewig laufen.

Ein Beispiel einer solchen Rente könnte ein Projekt sein, das einen bestimmten anfänglichen Cashflow C erzeugt. In den Folgejahren wächst dieser Cashflow dann mit der langfristig erwarteten Inflationsrate. Nehmen wir an, dass der anfängliche Cashflow (der in einem Jahr fällig wird) 1 Million beträgt und dass die Wachstumsrate 1 % beträgt. Bezeichnen wir diese konstante Wachstumsrate mit dem Buchstaben g.

Die zukünftigen Cashflows des Projekts sind:

• \( C_1 = C_1 = 1'000'000 \)
   
• \( C_2 = C_1 \times (1 + g) = 1'000'000 \times 1.01 = 1'010'000 \)
   
• \( C_3 = C_1 \times (1+g)^2 = 1'000'000 \times 1.01^2 = 1'020'100 \)
   
• etc.

Um das Projekt zu bewerten, können wir wie folgt vorgehen:

\( PV_0=\frac{C_1}{(1+R)}+\frac{C_1 \times (1+g)}{(1+R)^2} \) \(+\frac{C_1 \times (1+g)^2}{(1+R)^3} + ... \) 

Es lässt sich relativ leicht zeigen, dass sich diese Bewertungsformel für nachschüssige wachsende ewige Renten wie folgt vereinfachen lässt:

\( \bf{PV_{0,\text{Nachschüssige Wachsende Ewige Rente}} = \frac{C_1}{R-g}} \)

Unterstellen wir für unser Beispiel, dass die Kapitalkosten 10% betragen. Das Projekt mit einer anfänglichen Zahlung von 1 Million (C₁), die in den Folgejahren dann jeweils um 1% pro Jahr wächst, hat folglich einen Present Value von rund 11.11 Millionen:

\( PV_{0,\text{Nachschüssige Wachsende Ewige Rente}} = \frac{C_1}{R-g} = \frac{1'000'000}{0.10 - 0.01} = 11'111'111\)

Beispiel 5

Von einer Aktie wird erwartet, dass sie in einem Jahr eine Dividende von 2 Dollar zahlt. Danach gehen wir davon aus, dass die Dividendenzahlungen für immer mit einer konstanten Wachstumsrate von 3% pro Jahr ansteigen werden. Der relevante Diskontsatz beträgt 10%. Wie hoch ist folglich der Present Value aller künftig erwarteten Dividendenzahlungen dieser Aktie?

Unter Verwendung der Formel einer nachschüssigen wachsenden ewigen Rente beträgt der Gegenwartswert aller künftigen Dividendenzahlungen 28.57 Dollar:

\( PV_{0,\text{Nachschüssige Wachsende Ewige Rente}} = \frac{C_1}{R-g} = \frac{2}{0.10 - 0.03} = 28.57 \)

Beispiel 6

Was wäre, wenn die Aktie aus Beispiel 4 bereits heute die erste Dividende bezahlen und anschliessend ein jährliches Dividendenwachstum von 3% aufweisen würde?

Da die erste Dividendenzahlung heute eintrifft (C₀), handelt es sich um eine vorschüssige wachsende ewige Rente. Die Bewertungsformel für eine vorschüssige wachsende ewige Rente lautet:

\( \bf{PV_{0, \text{Vorschüssige Wachsende Ewige Rente}} = C_0 + \frac{C_0 \times (1+g)}{(R-g)} = C_0 \times \frac{(1+R)}{(R-g)} } \)

In unserem Beispiel mit C₀ = 2, R = 0.1 und g = 0.03 beträgt der Wert aller erwarteten Dividenden folglich 31.43:

\( PV_{0, \text{Vorschüssige Wachsende Ewige Rente}} = C_0 \times \frac{(1+R)}{(R-g)} = 2.00 \times \frac{1.1}{(0.1 - 0.03)} = 31.43 \)

Beispiel 7

Welcher der folgenden Investitionsvorschläge hat unter der Annahme eines Kapitalkostensatzes von 10 % den höchsten Present Value?

• Vorschlag A: Eine Barzahlung von 3.0 Mio. heute
• Vorschlag B: Eine konstante jährliche Zahlung von 250'000, die heute beginnt
• Vorschlag C: Eine konstante jährliche Zahlung von 280'000, die in 1 Jahr beginnt
• Vorschlag D: Eine jährliche Zahlung von 250'000, die in einem Jahr beginnt und dann mit einer konstanten Wachstumsrate von 2% pro Jahr wächst
• Vorschlag E: Eine jährliche Zahlung von 250'000, die heute beginnt und dann mit einer konstanten Wachstumsrate von 1% pro Jahr wächst.

Gemäss unseren Berechnungen hat Vorschlag D, die wachsende ewige Rente, die in einem Jahr beginnt, die höchste Bewertung (3.125 Millionen), gefolgt von Vorschlag E (vorschüssige wachsende ewige Rente mit einem Wert von 3.056 Millionen) und Vorschlag A (Barzahlung in der Höhe von 3 Millionen).