Lektüre: Ewige Renten

Für den interessierten Leser enthält dieser Abschnitt einige Erweiterungen und zusätzliche Beispiele für die Bewertung der ewigen Rente. Insbesondere wird erörtert, wie mit Situationen umzugehen ist, in denen die Zahlungsfrequenz und die Aufzinsungsfrequenz nicht identisch sind. So könnte es sich beispielsweise um eine ewige Rente handeln, die vierteljährliche Zahlungen vorsieht, der Kapitalkostensatz aber auf einer effektiven jährlichen Basis ausgedrückt wird. 

Beispiel 10

Eine Aktie zahlt eine konstante vierteljährliche Dividende von 2.00 EUR für immer. Die erste Dividende wird in einem Quartal gezahlt. Die Kapitalkosten (effektiver Jahreszins, EAR) betragen 10%. Wie hoch ist der Barwert aller zukünftigen Dividendenzahlungen?

In diesem Beispiel stimmen die Zahlungsfrequenz (vierteljährlich) und die Verzinsungsfrequenz (jährlich) nicht überein. Um die ewige Rente zu bewerten, müssen wir daher entweder die vierteljährliche Zahlung in eine entsprechende jährliche Zahlung umrechnen oder die jährlichen Kapitalkosten in vierteljährliche Kapitalkosten umrechnen. Schauen wir uns diese beiden Ansätze an:

Jährliches Cashflow-Äquivalent

Der erste Ansatz besteht darin, den jährlichen Cashflow zu ermitteln, der einem vierteljährlichen Cashflow von 2,00 EUR entspricht. Der springende Punkt ist, dass die vierteljährlichen Dividenden zum Zeitpunkt ihres Anfalls angelegt werden können, so dass sie bis zum Ende des Jahres Zinsen bringen. Eine vierteljährliche Dividende von 2,00 EUR ist daher wertvoller als eine jährliche Dividende von 8 EUR [= 2×4], die am Jahresende ausgezahlt wird.

Die Dividende des ersten Quartals kommt nach drei Monaten an und kann daher 9 Monate (0.75 Jahre) lang bis zum Jahresende angelegt werden. Die zweite und dritte Quartalsdividende kommen nach 6 bzw. 9 Monaten, so dass der verbleibende Anlagezeitraum 0.5 bzw. 0.25 Jahre beträgt. Die Dividende des letzten Quartals schließlich wird am Jahresende ausgeschüttet, so dass bis zum Jahresende keine Reinvestition erfolgt. Der künftige Wert der vierteljährlichen Dividenden beträgt also:

\( FV_1 = C \times (1+R)^{0.75} +C \times (1+R)^{0.50} +C \times (1+R)^{0.25} + C \)

\( FV_1 = 2 \times 1.1^{0.75}+2 \times 1.1^{0.50} +2 \times 1.1^{0.25} + 2 = 8.294 \)

Anders ausgedrückt: Bei einem Zinssatz von 10% entspricht eine vierteljährliche Dividende von 2 EUR, zahlbar am Ende des Quartals,  einer jährlichen Dividende von 8.294 EUR, zahlbar am Jahresende.

Da wir nun das jährliche Äquivalent der Dividende kennen, sind Verzinsungsfrequenz und Auszahlungshäufigkeit konsistent, so dass wir den Barwert der ewigen Rente mit der Standardformel für eine nachschüssige ewige Rente berechnen können:

\( PV_0 = \frac{C_{Annual \ equivalent}}{R} = \frac{8.294}{0.1} = 82.94 \)

Der Present Value aller künftigen Dividendenzahlungen ist 92.94 EUR.

Quartalsweise Kapitalkosten

Alternativ können wir den jährlichen Zinssatz von 10% auch auf vierteljährlicher Basis ausdrücken. Genauer gesagt suchen wir nach einem vierteljährlichen Zinssatz (R_m), der bei Aufzinsung über 4 Quartale eine jährliche Rendite von R = 10% ergibt. In Anlehnung an den Abschnitt zur Verzinsungsfrequenz und dem effektiven jährlichen Zins verwenden wir den Buchstaben m zur Bezeichnung der Verzinsungsfrequenz.

Wir suchen R_m, so dass: 

\( (1+R_m)^4 = (1+ R) \)

Wenn wir den Ausdruck nach R_m finden wir:

\( R_m = (1+R)^{\frac{1}{m}} - 1 \)

In unserem Beispiel: 
 

\( R_m = (1+R)^{\frac{1}{m}} - 1 = 1.1^{\frac{1}{4}}-1 = 0.02411 = 2.411\% \)

Anders ausgedrückt: Ein Zinssatz von 10% mit jährlicher Verzinsung (R) entspricht einem vierteljährlichen Zinssatz von 2.411 %. Nun können wir diesen vierteljährlichen Zinssatz verwenden, um den vierteljährlichen Dividendenstrom zu bewerten:

\( PV = \frac{C}{R_m} = \frac{2}{0.02411} = 82.94 \)

Das Ergebnis ist ein Barwert von 82.94 EUR, der mit der obigen Lösung unter Verwendung äquivalenter jährlicher Cashflows identisch ist.

Beispiel 11

Ein Projekt zahlt jedes zweite Jahr einen Cashflow von 1 Mio. Dollar, und zwar für immer. Der erste Cashflow wird heute fällig, der zweite Cashflow in 2 Jahren, usw. Wie hoch ist der Present Value des Cashflow-Stroms, wenn die Kapitalkosten (effektiver Jahreszins) 6% betragen?

In diesem Beispiel ist die Verzinsungsfrequenz (jährlich) kürzer als der Zahlungsrhythmus (jedes zweite Jahr). Um die ewige Rente zu bewerten, müssen wir daher entweder den Cashflow auf jährlicher Basis ausdrücken oder den Zinssatz in einen zweijährlichen Zinssatz (m = 0.5) umwandeln. Der Einfachheit halber zeigen wir im Folgenden nur den letzteren Ansatz:

Ein jährlicher Zinssatz von 6 % entspricht einem zweijährlichen Zinssatz von 12,36%:

\( R_m = (1+R)^{\frac{1}{m}} - 1 = 1.06^{\frac{1}{0.5}}-1 = 0.1236 = 12.36\% \)

Die fragliche ewige Rente ist eine fällige ewige Rente, da der erste Cashflow bereits heute eintrifft. Folglich beträgt der Wert des Cashflow-Stroms 8.09 Mio. Dollar:

\( PV = \frac{C}{R_m} = \frac{1}{0.1236} = 8.09 \)

Beispiel 12

Die gleiche Logik gilt für wachsende ewige Renten. Nehmen wir zum Beispiel eine Aktie, die eine vierteljährliche Dividende von 1 zahlt, die von Quartal zu Quartal um 1% wächst. Die erste Zahlung erfolgt in genau einem Quartal und die Kapitalkosten (effektiver Jahreszins) betragen 12%.

Mit der obigen Logik können wir den effektiven jährlichen Zinssatz von 12% in einen vierteljährlichen Zinssatz von 2.874% umrechnen:

\( R_m = (1+R)^{\frac{1}{m}} - 1 = 1.12^{\frac{1}{4}}-1 = 0.02874 = 2.874\% \)

Mit diesem vierteljährlichen Kapitalkostensatz können wir dann die Gleichung einer nachschüssigen wachsenden ewigen Rente verwenden, um den fraglichen Cashflow zu bewerten:

\( PV = \frac{C}{(R_m-g)} = \frac{1}{0.02874-0.01} = 53.4 \)

Es resultiert ein Wert von 53.4 Dollar.