3. Generalisierung

Die bisherigen ewigen Renten haben ihre Zahlungen entweder zu Beginn oder am Ende der jeweiligen Investitionsperiode geleistet. Natürlich kann es durchaus sein, dass eine ewige Rente während des Jahres (oder des Anlagezeitraums) beginnt. So könnte ein Anleger beispielsweise daran interessiert sein, zu Beginn des Jahres den Wert einer Aktie zu erfahren, die Ende März (d. h. drei Monate oder ein Quartal nach Beginn des "Anlagezeitraums") eine konstante jährliche Dividende zahlt.

 

Wie geht man mit einer solchen ewigen Renten um?

  • Wenn wir die Formel für die nachschüssige ewige Rente anwenden, gehen wir davon aus, dass der erste Cashflow in exakt einem Jahr eintritt. Folglich würden wir den Cashflow-Strom um 0.75 Jahre zu viel abzinsen, da er ja tatsächlich bereits in 3 Monaten (0.25 Jahren) eintrifft.

  • Wenn wir dagegen die Formel für die vorschüssige ewige Rente verwenden, gehen wir davon aus, dass der erste Cashflow heute eintritt. Folglich würden wir den Cashflow-Strom um 0.25 Jahre zu wenig abzinsen.

  • Die Lösung ist einfach: Wir können die Formel für die nachschüssige ewige Rente verwenden und dann die resultierende Bewertung korrigieren, indem wir sie über 0.75 Jahre mit den Kapitalkosten aufzinsen.

In der Folge verwenden wir den Buchstaben n, um anzugeben, wie viele Perioden es noch dauert, bis die erste Zahlung eintritt. 

  • Nachschüssige ewige Rente: Der erste Cashflow erfolgt am Ende einer Investitionsperiode, also ist n = 1
     
  • Vorschüssige ewige Rente: Der erste Cashflow erfolgt zu Beginn des Investitionszeitraums, daher ist n = 0.
     
  • Im Beispiel oben: Der erste Cashflow tritt in 3 Monaten ein, also ist n = 0.25.

 

Der obigen Argumentation folgend, diskotiert die Formel der nachschüssigen ewigen Rente den Cashflow-Strom um (1-n) Perioden zu stark. In unserem Beispiel waren das 1 - 0.25 = 0.75 Jahre. Wir können dies korrigieren, indem wir den resultierenden Cashflow über (1-n) Perioden zu den Kapitalkosten aufzinsen. Das Ergebnis ist:

 

\( \bf{PV_0 = \frac{C}{R}\times (1+R)^{(1-n)}} \)

 

Um unser Beispiel zu vervollständigen, gehen wir von einer ewigen Rente mit einem jährlichen Cashflow von 80 und einem Kapitalkostensatz von 10% aus. Wenn der erste Cashflow in 3 Monaten erfolgt, ergibt sich ein Barwert von 819.29:

 

\( PV_0 = \frac{80}{0.1}\times 1.1^{0.75} = 859.28 \)

 

Beachten Sie, dass im Falle einer vorschüssigen ewigen Rente n gleich 0 ist, so dass die obige Gleichung lautet:

 

\( PV_0 = \frac{C}{R}\times (1+R)^{1} = C + \frac{C}{R} \)

 

Dies ist die Standardformel für eine vorschüssige ewige Rente, die wir auf der vorherigen Seite abgeleitet haben.

 

Beispiel 4

Es ist der 1. Januar. Sie ziehen eine Investition in Erwägung, die ab Ende September eine konstante jährliche Zahlung von 200'000 vorsieht. Die erste Zahlung erfolgt also in 9 Monaten oder 0.75 Jahren. Wie hoch ist der Present Value dieser ewigen Rente unter der Annahme von Kapitalkosten von 6%?

 

Basierend auf der obenstehenden Gleichung können wir schreiben (C = 200'000, R = 0.06, n = 0.75):

 

\( PV_0 = \frac{C}{R}\times (1+R)^{(1-n)} = \frac{200'000}{0.06} \times 1.06^{0.25} = 3'382'246\)

 

Folglich beträgt der Wert des Cashflow-Stroms etwa 3.4 Millionen.