5. Generalisierung

Wie bereits für den Fall der konstanten ewigen Rente erörtert, kann es durchaus sein, dass der erste Cashflow innerhalb des Investitionszeitraums und nicht zu dessen Beginn oder Ende erfolgt. Die gleiche Logik gilt für wachsende ewige Renten.

Unter Verwendung der Notation von vorhin, in der n angibt, wie viele Investitionsperioden es dauert, bis der erste Cashflow eintritt, können wir die Formel für wachsende ewige Renten so anpassen, dass jeder beliebige Startpunkt berücksichtigt wird:

 

\( \bf{PV = \frac{C_{n}}{(R-g)} \times (1+R)^{(1-n)}} \)

 

Im Fall einer vorschüssigen ewigen Rente ist n = 0, so dass die obenstehende Gleichung ergibt:

 

\( PV = \frac{C_0}{(R-g)} \times (1+R)^{1} \)

 

Dies ist derselbe Ausdruck, den wir zuvor bereits für die wachsende ewige Rente abgeleitet haben.

 

Beispiel 8

Betrachten wir eine Aktie, die eine jährliche Zahlung von 12 EUR leistet, beginnend in 3 Monaten (n = 0.25). Danach wird erwartet, dass die Zahlung für immer mit einer jährlichen Rate von 3% wächst. Der Kapitalkostensatz beträgt 8%. Wie hoch ist der Present Value dieses Cashflow-Stroms?

 

\( PV = \frac{C_{n}}{(R-g)} \times (1+R)^{(1-n)} = \frac{12}{(0.08-0.03)} \times 1.08^{0.75} = 254.26 \)

 

Der Present Value beträgt 254.26 EUR.

 

Beachten Sie, dass die gleiche Logik auch für ewige Renten gilt, die viel später beginnen. Das folgende Beispiel veranschaulicht dies:

  

Beispiel 9

Nehmen wir ein Projekt, das in den nächsten 5.75 Jahren keinerlei Zahlungen leisten wird, weil beispielsweise alle Mittel für interne Entwicklungen benötigt werden. Erst in 5.75 Jahren wird die erste jährliche Zahlung fällig. Nehmen wir an, dass diese Zahlung (C5,75) 1 Million beträgt und dass sie anschliessend für immer mit einer jährlichen Rate von 4% wachsen wird. Der Kapitalkostensatz beträgt 12%. Wie hoch ist der Present Value des Cashflow-Stroms?

 

In diesem Beispiel ist, Cn = 1 Million, n = 5.75, g = 4%, und R = 12%. Wir können diese Werte in die generelle Form zur Bewertung von wachsenden ewigen Renten einsetzen:

 

\( PV = \frac{C_{n}}{(R-g)} \times (1+R)^{(1-n)} = \frac{1}{(0.12-0.04)} \times 1.12^{-4.75} = 7.30 \)

 

Der Present Value der zukünftigen Zahlungsströme beträgt folglich 7.3 Millionen.