Lektüre: Annuitäten (Renten)

Oftmals möchte man auch wissen, wie viel Geld man am Ende eines Investitionsprojekts in Form einer Rente erwarten kann. Im Falle der Ruhestandsplanung könnte ein Anleger zum Beispiel wissen wollen, wie viel Geld ihm bei Renteneintritt voraussichtlich zur Verfügung stehen wird, wenn er jährliche Beiträge von beispielsweise 10'000 Franken leistet und eine konstante Rendite erzielt. Der Future Value einer Annuität liefert die Antwort auf solche Fragen.

Mit all den Kenntnissen über die Aufzinsung und Abzinsung, die wir bisher gesammelt haben, sollte es keine grosse Herausforderung sein, diesen Future Value abzuleiten. Betrachten wir zunächst gewöhnliche nachschüssige Annuitäten, bei denen die erste Zahlung in genau einem Jahr erfolgt (Anlagezeitraum).

Der Future Value von nachschüssigen Annuitäten

In Übereinstimmung mit unserer vorherigen Schreibweise bezeichnet T das Ende einer nachschüssigen Annuität. Wenn wir uns für den Future Value am Ende einer Annuität interessieren, suchen wir also nach einem zukünftigen Wert, der T Anlageperioden von jetzt an liegt. Wir können diesen zukünftigen Wert finden, indem wir den Barwert einer Annuität über T Perioden aufzinsen:

\( FV_T = PV_0 \times (1+R)^T \)

Errinnern wir uns, dass PV₀ der Annuität den folgenden Wert annimmt: \( PV_0 = C \times PVIFA_{R,T} \) und dass PVIFA_R,T \( PVIFA_{R,T}=\frac{1-(1+R)^{-T}}{R} \) ist. Folglich können wir schreiben:

\( FV_T = C \times PVIFA_{R,T} \times (1+R)^T = C \times \frac{1-(1+R)^{-T}}{R} \) \( \times (1+R)^T \)

Daraus ergibt sich der folgende Ausdruck für den Zukunftswert von nachschüssigen Annuitäten mit der Laufzeit T und einem Diskontsatz R:

\( \bf{FV_T = C \times \frac{(1+R)^T-1}{R}} \)

Der zweite Term, \( \frac{(1+R)^T-1}{R} \) wird typischerweise als Future Value Interest Factor of an Annuity, kurz FVIFA, bezeichnet. Folglich gilt:

\( \bf{FV_T = C \times FVIFA_{R,T}} \)

mit: \( \bf{FVIVA_{R,T} = \frac{(1+R)^T-1}{R}} \)

Wie im Fall von PVIFA hängt der FVIFA nur von der Dauer der Annuität (T) und dem Zinssatz (R) ab. Daher können wir die FVIFA-Faktoren auch in einer einfachen zweidimensionalen Tabelle ausdrücken (vgl. auch die beiliegende Excel-Datei):

Beispiel 6

Ein Anleger plant, in den nächsten 10 Jahren jedes Jahr 15'000 GBP zur Seite zu legen. Die erste Einzahlung erfolgt in genau 1 Jahr und alle weiteren Zahlungen erfolgen in jährlichen Abständen. Der Zinssatz beträgt 4%. Wie hoch ist der erwartete Kontostand am Ende der Sparperiode in 10 Jahren?

Wir haben die folgenden Informationen:

• C = EUR 15'000
• T = 10
• R = 4%.

Damit können wir den entsprechenden FVIFA-Faktor anhand der obigen Tabelle bestimmen, nämlich 12.0061. Folglich beträgt der zukünftige Wert dieser Rente 180'092 GBP:

\( FV_{10} = C \times FVIFA_{4\%,10} = 15'000 \times 12.0061 = 180'092 \)

Dies ist der grundlegende Ansatz zur Berechnung des Zukunftswerts einer nachschüssigen Rente. Unabhängig vom Ausgangspunkt wird bei diesem Ansatz der künftige Wert zum Zeitpunkt der letzten Rentenzahlung berechnet (es findet also keine Verzinsung der letzten Rentenzahlung mehr statt).

Future Value einer vorschüssigen Annuität

Wie gerade erwähnt, berechnet der oben beschriebene Ansatz den zukünftigen Wert der Rente zum Zeitpunkt der letzten Zahlung, unabhängig vom Ausgangspunkt:

• In Beispiel 6 erfolgt die letzte Zahlung in 10 Jahren, so dass der zukünftige Wert ebenfalls 10 Jahre beträgt. 
   
• Würde es sich bei der fraglichen Rente dagegen um eine vorschüssige Rente handlen (um eine Annuität also, die jeweils zu Beginn jeder Investitionsperiode eine Zahlung mit sich bringt), so würde die letzte Zahlung in 9 Jahren anfallen (sprich: zu Beginn des Jahres 10), so dass der resultierende Future Value ebenfalls 9 Jahre in der Zukunft läge.

Wenn wir uns für den Future Value einer vorschüssigen Annuität am Ende der letzten Investitionsperiode interessieren, können wir die obigen Berechnungen entsprechend anpassen. In Anlehnung an die Notation der vorangegangenen Abschnitte verwenden wir die Variable n, um die Zeit zwischen dem Beginn der Annuität und der ersten Zahlung zu bezeichnen. Im Zusammenhang mit den zukünftigen Werten von Annuitäten kann n jeden Wert zwischen 0 und 1 annehmen:

• n = 0: Erste Zahlung zu Beginn des Investitionszeitraums. Dies ist eine vorschüssige Annuität.

• n = 1: Erste Auszahlung am Ende des Anlagezeitraums. Es handelt sich um eine nachschüssige Annuität.

Um den Future Value am Ende der letzten Investitionsperiode zu erhalten, lautet die allgemeine Formel:

\( \bf{FV_{T} = C \times FVIFA_{R,T} \times (1+R)^{(1-n)}} \)

Beispiel 7

Heute ist Ihr 30. Geburtstag. Sie beschliessen, heute ein Konto zu eröffnen, um für eine grosse Party zu Ihrem 50. Geburtstag zu sparen. Sie zahlen heute CHF 5'000 ein und planen, an jedem Ihrer nächsten Geburtstage weitere CHF 5'000 zu investieren, bis Sie 49 werden. An Ihrem 50. Geburtstag lösen Sie dann das Konto auf und schmeissen eine Party. Der Zinssatz beträgt 3%. Wie hoch ist das Budget für Ihr Fest?

In diesem Beispiel haben wir:

• n = 0 (die erste Zahlung ist heute, zu Beginn der ersten Anlageperiode)
• C = 5'000
• T = 20 (Sie leisten insgesamt 20 Einzahlungen)
• R = 3%.

Wie bereits erwähnt, wird bei der Standardmethode zur Bewertung von Annuitäten mit der oben gezeigten FVIFA-Tabelle (FVIFA3%,20 = 26,8704) der Future Value zum Zeitpunkt der letzten Zahlung berechnet, d.h. direkt nach Ihrer Einzahlung am 49. Geburtstag. Da Sie sich für den Saldo ein Jahr später interessieren (d. h. an Ihrem 50. Geburtstag, dem Ende der 20. Investitionsperiode), passen Sie den resultierenden FV an, indem Sie ihn über ein weiteres Jahr aufzinsen:

\( FV_{T} = C \times FVIFA_{R,T} \times (1+R)^{(1-n)} = 5'000 \times 26.8704 \times 1.03^{1-0} = 138'382 \)

Folglich können Sie mit einem Budget von rund CHF 138'000 für Ihre Geburtstagsfeier rechnen.