Lektüre: Annuitäten (Renten)
4. Present Value von wachsenden Annuitäten
Zum Abschluss betrachten wir die Bewertung von Annuitäten, deren Cashflows eine konstante Wachstumsrate g aufweisen: so genannte wachsende Annuitäten. Beginnen wir mit einem Beispiel.
Beispiel 8
In einem Jahr leistet ein Projekt eine Zahlung von 200'000. Danach erwarten Sie, dass die Zahlung jedes Jahr mit einer Wachstumsrate von 5% wächst. Die letzte Zahlung wird in 3 Jahren erwartet und die Kapitalkosten betragen 10%. Wie hoch ist der Present Value des Cashflow-Stroms basierend auf diesen Informationen?
Nun haben wir es mit einer wachsenden nachschüssigen Rente zu tun. Wie im Fall von konstanten Renten können wir ein replizierendes Portfolio von ewigen Renten aufbauen, um "schnell" den Gegenwartswert einer wachsenden Rente zu berechnen:
heute | Jahr 1 | Jahr 2 | Jahr 3 | Jahr 4 | Jahr 5 | |
Wachsende ewige RenteStart heute | \( C \) | \( C(1+g) \) | \(C(1+g)^2 \) | \(C(1+g)^3 \) | ... | |
Wachsende ewige RenteStart Jaur 3 | \( -C(1+g)^3 \) | ... | ||||
Wachsende Rente (3 Jahre) | \( \bf{C} \) | \( \bf{C(1+g)} \) | \(\bf{C(1+g)^2} \) | 0 | 0 |
Wie die Tabelle zeigt, kann die wachsende nachschüssige Rente im Prinzip mit einem Portfolio aus zwei wachsenden ewigen Renten nachgebildet werden:
- Wachsende ewige Rente, die heute beginnt, in Jahr 1 eine erste Zahlung leistet und anschliessend mit einer Wachstumsrate von g ansteigt;
- Wachsende ewige Rente, die in T = 3 Jahren beginnt, in 4 Jahren eine erste Zahlung von -C × (1+g)T leistet und danach eine Wachstumsrate von g aufweist.
Folglich ist der Gegenwartswert dieser Annuitäten:
\( PV_{\text{Nachschüssige Wachsende Annuität}} = \frac{C}{R-g}-\frac{C\times (1+g)^{T}}{R-g} \times (1+ R)^{-T} \)
Wenn wir diesen Ausdruck umformen, erhalten wir:
\( \bf{PV_{\text{Growing Ordinary Annuity}} = \frac{C}{R-g} \times \left( 1- \left( \frac{1+g}{1+ R} \right)^T \right)} \)
mit C = erster Cashflow; R = Zinssatz; g = Wachstumsrate; T = Dauer der Annuität.
Im obigen Beispiel kennen wir die folgenden Werte:
- C = 200'000
- R = 10%
- g = 5%
- T = 3 Jahre.
Der Present Value der wachsenden Annuität ist folglich:
\( PV_{\text{Nachschüssige Wachsende Annuität}} = \frac{C}{R-g} \times \left( 1- \left( \frac{1+g}{1+ R} \right)^T \right) \)
\( PV_{\text{Nachschüssige Wachsende Annuität}} = \frac{200'000}{0.1-0.05} \times \left( 1- \left( \frac{1.05}{1.1} \right)^3 \right) = 521'037 \)
Beachten Sie, dass dieser Ansatz mit dem replizierenden Portfolio nur für Annuitäten mit einer Wachstumsrate kleiner als die Kapitalkosten (g < R) funktioniert. Wenn die betreffende Annuität eine höhere Wachstumsrate hat, funktioniert das replizierende Portfolio nicht und wir müssen die Cashflows explizit abbilden und ihre Present Values berechnen.
Beispiel 9
Eine Kundin einer Anlageberaterin hat für das kommende Jahr ein erwartetes Gehalt von 200'000 $. Für die Zukunft wird erwartet, dass ihr Gehalt um 3% pro Jahr steigt. Die Kundin will in den folgenden 20 Jahren jeweils 10% ihres Gehalts anlegend, beginnend in genau 1 Jahr. Die erwartete Rendite des Anlageportfolios beträgt 7% (Kapitalkosten). Wie hoch ist der heutige Wert der künftigen Ersparnisse Ihrer Kundin basierend auf diesen Informationen?
Es handelt sich um eine wachsende ewige Rente mit den folgenden Merkmalen:
- C = erster Cashflow 20'000 (10% des Gehalts)
- g = jährliche Wachstumsrate von 3%
- R = Kapitalkosten von 7%
- T = Anlagehorizont von 20 jährlichen Zahlungen.
Wir können die obige Gleichung benutzen, um den heutigen Wert des zukünftigen Anlageportfolios zu bestimmen:
\( PV_{\text{Nachschüssige wachsende Rente}} = \frac{C}{R-g} \) \( \times \left( 1- \left( \frac{1+g}{1+ R} \right)^T \right) \)
\( PV_{\text{Nachschüssige wachsende Rente}} = \frac{20'000}{0.07-0.03} \times \left( 1- \left( \frac{1.03}{1.07} \right)^{20} \right) = 266'633 \)
Aus heutiger Sicht haben die zukünftigen Ersparnisse einen Wert von $ 266'633.
Beispiel 10
Was wäre, wenn die Kundin aus dem vorherigen Beispiel ihre jährlichen Sparzahlungen in 3 Monaten statt in 1 Jahr beginnen würde?
Wie wir bereits im Fall der ewigen Rente und der Annuität bereits gesehen haben, werden bei dem obigen Ansatz die künftigen Cashflows um (1-n) Jahre zu stark abgezinst, wenn die erste Zahlung in n Jahren statt in einem Jahr erfolgt. Um den Present Value zu korrigieren, wird er einfach noch über (1-n) Jahre aufgezinst.
Die verallgemeinerte Version zur Berechnung des Present Values wachsender Annuitäten lautet daher wie folgt:
\( \bf{PV_{\text{Wachsende Annuität}} = \frac{C}{R-g} \times \left( 1- \left( \frac{1+g}{1+ R} \right)^T \right) \times (1+R)^{(1-n)}} \)
mit C = erster Cashflow; R = Diskontsatz; g = jährliche Wachstumsrate; T = Laufzeit der Annuität; n = Zeitpunkt der ersten Einzahlung (Anzahl Jahre von heute aus betrachtet).
In unserem Beispiel erfolgt der erste Cashflow nach 3 Monaten (n = 0.25 Jahre). Folglich gilt:
\( PV_{\text{Wachsende Annuität}} = \frac{20'000}{0.07-0.03} \times \left( 1- \left( \frac{1.03}{1.07} \right)^{20} \right) \times 1.07^{(1-0.25)} \) \( = 266'633 \times 1.07^{0.75} = 280'512 \)
Wenn die Zahlungen bereits in 3 Monaten beginnen, ergibt sich ein Present Value von etwa $ 280'000. Da das Geld früher investiert wird, erzielt es eine leicht Höhere Gesamtrendite als im vorangehenden Fall.