5. Future Value von wachsenden Annuitäten

Schliesslich können wir mit den in diesem Abschnitt entwickelten Werkzeugen auch den Future Value einer wachsenden Annuität berechnen. Mit der gleichen Logik wie bei der konstanten Annuität können wir für eine wachsende Annuität schreiben: 

  

\( FV_{\text{Wachsende Annuität}} = PV_{\text{Wachsende Annuität}} \times (1+R)^T \)

 

Aus dem vorangehenden Abschnitt kennen wir die generelle Formel zur Berechnung des Present Values von wachsenden Annuitäten:

    

\( PV_{\text{Wachsende Annuität}} = \frac{C}{R-g} \times \left( 1- \left( \frac{1+g}{1+ R} \right)^T \right) \times (1+R)^{(1-n)} \) 

 

Der Future Value solcher Annuitäten ergibt sich folglich als:

 

\( FV_{\text{Wachsende Annuität}}= \) \( \frac{C}{R-g} \times \left( 1- \left( \frac{1+g}{1+ R} \right)^T \right) \times (1+R)^{(1-n)} \times (1+R)^T \)

  

Dies lässt sich zum folgenden Ausdruck vereinfachen:

  

\( \bf{FV_{\text{Wachsende Annuität}}= \frac{C}{R-g} \times \left( (1+ R)^T - (1+g)^T \right) \times (1+R)^{(1-n)}} \)

 
mit: C = Erster Cashflow; R = Diskontsatz; g = Jährliche Wachstumsrate der Cashflows; T = Dauer der Annuität (Anzahl Zahlungen); n = Zeitpunkt des ersten Cashflows (Anzahl Jahre von heute).

 

Dies ist der allgemeine Ausdruck zur Berechnung des Future Values einer wachsenden Rente am Ende der letzten Investitionsperiode der Rente (T Perioden vom Beginn an).

 

Beispiel 11

Betrachten wir die Investorin aus dem vorangehenden Beispiel 9: 

  • C = 20'000
  • g = 3%
  • R = 7%
  • T = 20 years
  • n = 1 Jahr

 

Welcher Future Value der Annuität ergibt sich aus diesen Informationen?

 

Wir können die Werte in den obigen Ausdruck einsetzen, um einen Future Value von etwa 1.03 Millionen zu erhalten: 

 

\( FV_{\text{Wachsende Annuität}}= \frac{20'000}{0.07-0.03} \times \left( 1.07^{20} - 1.03^{20} \right) \times 1.07^0 = 1'031'787\)

 

Beispiel 12

Wie hoch wäre der Future Value im Falle von Beispiel 10, wo die erste Zahlung bereits nach n = 0.25 Jahren erfolgt?

 

Die Berechnung des Future Values ist praktisch identisch mit derjenigen von Beispiel 11, mit der Ausnahme, dass n den Wert 0.25 statt 1 annimmt. Folglich beträgt der künftige Wert der wachsenden Rente etwa 1.09 Millionen:

 

\( FV_{\text{Wachsende Rente}}= \frac{20'000}{0.07-0.03} \times \left( 1.07^{20} - 1.03^{20} \right) \times 1.07^{0.75} = 1'085'495\)