Lektüre: Barwerte (Present Values)

Beispiel 1

Angenommen, jemand bietet Ihnen eine Zahlung von 1'100 in einem Jahr an (C₁). Wie wertvoll ist dieses Angebot für Sie heute? Anders ausgedrückt: Wie viel Geld sind Sie heute bereit, für dieses Angebot zu zahlen?

Um die Antwort zu finden, müssen wir zwei Schritte unternehmen:

• Investitionsalternative: Zunächst müssen wir herausfinden, was wir mit unserem Geld sonst noch tun könnten. Genauer gesagt, müssen wir die Rendite ermitteln, die wir mit einem alternativen Anlagevorschlag mit gleichem Risiko erzielen könnten.
  • Nehmen wir für den Moment an, dass diese so genannte Opportunitätsrendite (R) 10% beträgt.
  • Anders ausgedrückt: Anstatt in den oben beschriebenen Vorschlag zu investieren, könnten wir die alternative Anlage kaufen, die das genau gleiche Risiko aufweist und eine Rendite von 10% erzielt.
     
• Erforderliche Investition heute: Zweitens müssen wir wissen, wie viel Geld wir heute in den alternativen Anlagevorschlag investieren müssen, um in einem Jahr genau dieselbe Zahlung zu erhalten wie beim ursprünglichen Anlagevorschlag (C₁ = 1'100):
  • Da der alternative Investitionsvorschlag eine Rendite (R) von 10 % abwirft, lautet die Antwort 1'000: Wenn wir heute 1'000 bei einer Rendite von 10 % investieren, werden wir in einem Jahr 1'100 haben.

Der Barwert des Investitionsvorschlags ist also 1'000: Wenn wir heute 1'000 zu einer Rendite von 10 % investieren, können wir die zukünftigen Cashflows des Investitionsvorschlags genau replizieren.

Da diese Replikationsstrategie die gleichen Zahlungsströme und das gleiche Risiko wie der Investitionsvorschlag hat, muss auch ihr Wert identisch sein.

Wir können den Gegenwartswert berechnen, indem wir die Berechnung der Zukunftswerte umkehren. Wir haben im Beispiel den Gegenwartswert (PV₀) gesucht, der in einem Jahr (C₁) auf 1'100 anwächst, wenn er zum Opportunitätszinssatz von 10% (R) investiert wird:

\( C_1 = PV_0 \times (1+R)^1 \)

Wenn wir diese Gleichung nach PV₀ auflösen, so erhalten wir:

\( PV_0 = \frac{C_1}{(1+R)^1} = \frac{1'100}{1.1} = 1'000 \)

Allgemeiner ausgedrückt: Für jeden zukünftigen Cashflow, der zu einem beliebigen Zeitpunkt t (C_t) eintritt, kann der Present Value im Zeitpunkt 0 wie folgt berechnet werden:

\( \bf{PV_0 = \frac{C_t}{(1+R)^t}} \)
 

wobei R die Rendite bezeichnet, die mit einer alternativen Anlage mit identischem Risiko erwirtschaftet werden könnte. 

Beispiel 2

Angenommen, ein Investitionsvorschlag verspricht eine Auszahlung von 25'000 in 5 Jahren. Eine alternative Investition mit gleichem Risiko bringt eine jährliche Rendite von 5%. Wie hoch ist der Present Value dieses Investitionsvorschlags?

Um die Antwort zu finden, können wir die obige Gleichung verwenden:

\( PV_0 = \frac{C_t}{(1+R)^t} = \frac{C_5}{(1+R)^5} = \frac{25'000}{1.05^5} = 19'588 \)

Der aktuelle Wert des Investitionsvorschlags beträgt 19'588. Warum genau 19'588? Weil Sie heute die 19'588 nehmen und sie zu 5% für 5 Jahre in die alternative Anlage investieren könnten. Am Ende dieses Anlagezeitraums hätten Sie genau 25'000:

\( 19'588 \times 1.05^5 = 25'000 \)

Das Maximum, das sie folglich für das Projekt zu bezahlen bereit sind, ist 19'558. 19'558 ist also der faire heutige Wert des Investitionsvorschlags.

• Wenn die Gegenpartei einen höheren Preis verlangt (z.B. 21'000), ist es besser, stattdessen in die alternative Anlage zu investieren.
• Verlangt die Gegenpartei hingegen einen niedrigeren Preis (z.B. 18'000), ist der Anlagevorschlag attraktiv, da er (bei gleichem Risiko) eine höhere Rendite als die alternative Anlage erzielt.

Wie wir am Ende dieses Abschnitts diskutieren werden, sollte der tatsächliche Preis eines Investitionsvorschlags nahe an seinem fairen Wert liegen, zumindest auf wettbewerbsintensiven Märkten, auf denen es viele potenzielle Käufer und Verkäufer solcher Vorschläge gibt.

Terminologie

Das entscheidende Element der Gleichung ist der "Zinssatz" R. Dieser Zinssatz hat viele Namen, die wir als Synonym verwenden. Im Einzelnen:

• Diskontsatz: Der Prozess der Berechnung von Present Values wird allgemein als Diskontierung bezeichnet. Der Zinssatz R wird daher auch Diskontsatz genannt.

• Opportunitätszins: Wir haben gesehen, dass R definiert ist als die Rendite, die wir mit einer alternativen Anlage mit gleichem Risiko erzielen können. Die Alternative Nutzung unseres Kapitals ist also eine Investition zum Satz R, daher der Begriff Opportunitätssatz.

• Kapitalkosten: Wenn wir in ein bestimmtes Investitionsvorhaben investieren, verzichten wir auf die Investition des Kapitals zum Satz R. R ist also die entgangene Rendite, wenn Kapital in ein bestimmtes Projekt investieren.