4. Verzinsungsfrequenz und Effektiver Jährlicher Zins (EAR)

Im Modulabschnitt zur Verzinsungsfrequenz und dem effektiven Jahreszins (EAR) haben wir gelernt, wie man mit Situationen umgeht, in denen die Verzinsungsfrequenz nicht mit der Periodenlänge übereinstimmt, die wir zur Messung des Anlagehorizonts verwenden. Wir haben zum Beispiel gesehen, wie man den zukünftigen Wert einer Investition berechnet, die vierteljährliche Zinszahlungen erhält und über 5 Jahre läuft.

 

Die gleichen Überlegungen gelten für die Berechnung von Present Values. Im Folgenden wird gezeigt, wie unterschiedliche Verzinsungsfrequenzen im Rahmen der diskreten Verzinsung und der stetigen Verzinsung behandelt werden können.

 

Diskrete Verzinsung

Erinnern wir uns daran, dass wir die Berechnung von Future Values in einer Welt mit diskreter Verzinsung wie folgt verallgemeinert haben:

 

 \( FV_T = C_t \times (1+\frac{R}{m})^{m(T-t)} \)

  

mit Ct = Cashflow zum Zeitpunkt t (t=0 falls heute); R = Rendite; m = Anzahl der Zinszahlungen pro Investitionsperiode (Verzinsungsfrequenz); und T = Investitionshorizont (Anzahl  Perioden). 

 

Wir haben auch bereits das Konzept des effektiven jährlichen Zinssatzes (Effective Annual Rate, EAR) eingeführt: 

  

\(EAR = (1+\frac{R}{m})^m-1\),

 

so dass sich die Berechnung von Future Values wie folgt verallgemeinern liess:

 

\( FV_T = C_t \times (1+EAR)^{(T-t)} \)

 

Entsprechend können wir bei der Berechnung von Gegenwartswerten vorgehen. Veranschaulichen wir dies anhand eines einfachen Beispiels. Die relevanten Gleichungen zur Berechnung des Barwerts eines Cashflows, der zum Zeitpunkt t (Ct) eintritt, lauten:

 

\( \bf{PV_0 = \frac{C_t}{(1+EAR)^t}} \)

 

und:

  

\( \bf{PV_0 = \frac{C_t}{(1+\frac{R}{m})^{mt}}} \)

 

Beispiel 4

Eine Investition verspricht einen Cashflow von 30'000 in 4 Jahren. Eine alternative Investition mit gleichem Risiko bringt bei vierteljährlicher Verzinsung eine jährliche Rendite von 12%. Wie hoch ist der Present Value des Investitionsvorschlags?

 

Anhand der obigen Notation lässt sich der effektive Jahreszins der alternativen Investition ermitteln:

  

\(EAR = (1+\frac{R}{m})^m-1 = (1+ \frac{0.12}{4})^4-1 = 0.1255 = 12.55\%\)

 

Anders ausgedrückt: Eine jährliche Rendite von 12% mit vierteljährlicher Verzinsung entspricht einer jährlichen Rendite von 12.55% mit jährlicher Verzinsung. Mit diesen Informationen ist die Berechnung des Present Values des Investitionsvorschlags nun einfach zu bewerkstelligen:

 

\( \bf{PV_0 = \frac{C_t}{(1+EAR)^t}} = \frac{30'000}{1.1255^4} = 18'695 \)

 

Der Gegenwartswert des Investitionsvorschlags beträgt 18'695. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Formel für die Gegenwartswerte direkt anpassen:

 

\( PV_0 = \frac{C_t}{(1+\frac{R}{m})^{mt}} = \frac{30'000}{(1+\frac{0.12}{4})^{4 \times 4}} = 18'695 \)

 

Stetige Verzinsung

Bei der stetigen Verzinsung haben wir gesehen, dass die relevanten Ausdrücke zur Berechnung des effektiven Jahreszinses und des Future Values eines bestimmten Zahlungsstroms lauten:

   

 \( EAR_{R, \ continuous}=e^R-1 \)

  

und:

  

\( FV = C_t \times e^{R(T-t)} \)

 

Auch hier können wir die Ausdrücke umformulieren, um den Present Value von Ct in einem Umfeld mit stetiger Verzinsung zu berechnen. Insbesondere:

  

\( \bf{PV_0 = C_t \times e^{-Rt}} \)

 

Beispiel 5

Eine Investition verspricht einen Cashflow von 30'000 in 3 Jahren. Der relevante Diskontsatz beträgt 8% bei stetiger Verzinsung.

  

Der Present Value des Investitionsvorschlags beträgt 23'598.84:

  

\( PV_0 = C_t \times e^{-Rt} =30'000 \times e^{-0.08 \times 3} = 23'598.84 \)