Lektüre: Annuitäten (Renten)

Beispiel 1

Betrachten wir einen Investitionsvorschlag, der in den nächsten 3 Jahren am Ende eines jeden Jahres einen Cashflow von 100 auszahlt. Der Kapitalkostensatz beträgt 10%. Wie hoch ist der Gegenwartswert dieses Investitionsvorschlags?

Mit dem Wissen aus dem Abschnitt über Present Values ist diese Frage leicht zu beantworten:

\( PV_0 = \frac{100}{1.1}+\frac{100}{1.1^2}+\frac{100}{1.1^3} = 248.69 \)

Diese Lösung ist zwar korrekt, aber nicht besonders elegant. Vor allem bei langen Reihen konstanter Cashflows können die Berechnungen mühsam werden, so dass es schön wäre, eine elegante Abkürzung zu haben (stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass der obige Cashflow-Strom 20 Jahre lang läuft, statt nur 3 Jahre).

Um diese Abkürzung zu finden, können wir auf dem Wissen aus dem vorherigen Abschnitt über die ewige Rente aufbauen. Genauer gesagt, können wir versuchen, die Cashflows unserer Annuität mit einem Portfolio aus ewigen Renten zu replizieren:

• In den ersten drei Jahren sind die Cashflows des Projekts identisch mit denen einer gewöhnlichen nachschüssigen ewigen Rente, die einen Cashflow von 100 zahlt.
• Nach dem Jahr 3 liefert die gewöhnliche ewige Rente jedoch weiterhin jedes Jahr Cashflows von 100, während unsere Annuität dies nicht tut.
• Um diese Cashflows zu neutralisieren, könnten wir eine zweite nachschüssige ewige Rente hinzufügen, die im Jahr 3 beginnt (und daher ihren ersten Cashflow im Jahr 4 hat) und gegenläufige Cashflows liefert.
• Wenn die zweite ewige Rente jedes Jahr einen Cashflow von -100 hat, heben sich die beiden ewigen Renten nach Jahr 3 gegenseitig auf.
• Die folgende Tabelle fasst die beiden ewigen Renten zusammen und zeigt, wie sie die ursprüngliche Annuität nachbilden:

Nachdem wir nun das Replikationsportfolio aufgebaut haben, können wir die beiden ewigen Renten getrennt bewerten. Das gesamte relevante Wissen wurde bereits im Abschnitt über die ewige Rente entwickelt: Wir wissen, wie man eine ewige Rente bewertet, die heute beginnt, und wir wissen, wie man eine ewige Rente bewertet, die in 3 Jahren beginnt. 

PV Annuität = PV Ewige Rente_{Start heute} − PV Ewige Rente_{Start Jahr 3}

In Übereinstimmung mit unserer üblichen Schreibweise für Annuitäten verwenden wir den Grossbuchstaben T, um die Dauer der Annuität zu bezeichnen (in unserem Fall T = 3). Folglich erfolgt die erste Zahlung der zweiten ewigen Rente zum Zeitpunkt (T+1). Im vorangegangenen Abschnitt über die ewige Rente haben wir diese erste Zahlung der ewigen Rente mit dem Buchstaben n bezeichnet. In der folgenden Schreibweise wird n durch (T+1) ersetzt.

\( \text{PV Annuität} = \frac{C}{R} - \frac{C}{R} \times (1+R)^{1-(T+1)} \)

Dies kann wie folgt umgeschrieben werden:

\( \bf{\text{PV Annuität} = C \times \frac{1-(1+R)^{-T}}{R}} \)

Die Gleichung zeigt, dass der Barwert einer Annuität der jährlichen Rentenzahlung mal einem Faktor entspricht, der die Dauer der Annuität (T) und die Kapitalkosten (R) berücksichtigt. Dieser Faktor wird allgemein als Present Value Interest Factor of an Annuity, kurz PFIVA bezeichnet.

\( \bf{\text{PV Annuität} = C \times PVIFA_{R,T}} \)

\(\bf{\text{mit:} \ PVIFA_{R,T}=\frac{1-(1+R)^{-T}}{R}}\)

In unserem ursprünglichen Beispiel war R = 10% und T = 3 Jahre. Folglich:

\( PVIFA_{10\%,3}=\frac{1-(1+R)^{-T}}{R}=\frac{1-1.1^{-3}}{0.1} = 2.4869 \)

so dass:

\( \text{PV Annuität} = C \times PVIFA_{R,T} = 100 \times 2.4869 = 248.69 \),

was das gleiche Ergebnis wie bei der obigen Berechnung ist.

Da die PVIFA-Faktoren nur von der Dauer der Annuität (T) und dem Zinssatz (R) abhängen, lassen sie sich leicht in tabellarischer Form darstellen (klicken Sie zum Vergrössern auf die Tabelle oder sehen Sie sich das Arbeitsblatt "PVIFA nachschüssig" der Excel-Datei an): 

Beispiel 2

Ein Projekt zahlt in den nächsten 15 Jahren einen konstanten jährlichen Cashflow von 200'000. Der erste Cashflow tritt genau in einem Jahr ein und die Kapitalkosten betragen 8%.

Auf der Grundlage dieser Informationen können wir in der PVIFA-Tabelle den entsprechenden Wert für eine Laufzeit von 15 Jahren und einem Zinssatz von 8% nachschlagen. Der entsprechende Faktor ist 8.5595, so dass der Present Value der Annuität etwa 1.7 Millionen beträgt:

\( PV = C \times PVIFA_{8\%,15} = 200'000 \times 8.5595 = 1'711'900 \)

Eine ähnliche Bewertungslogik gilt auch für Renten, die zu Beginn des Anlagezeitraums Zahlungsströme bieten, so genannte vorschüssige Renten. Dies zeigt der nächste Abschnitt.